作者：胡森，普林斯顿大学博士、中国科学技术大学教授、中科院吴文俊数学重点实验室主任。

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十万个为什么 3.0 丛书 

在十九世纪末，科学界弥漫着一种乐观的气氛。随着电磁学、热力学和统计力学的建立，物理学大师开尔文爵士等人认为物理大厦已经建成，余下的只需修修补补。余下的两朵乌云，迈克尔逊-莫雷实验和黑体辐射实验，尚未被了解清楚。正是这两朵乌云，引发了二十世纪相对论和量子力学的建立。

在二十世纪末，人们有类似的困惑，自然科学是否走到了尽头。不过二十世纪末的乌云更多，例如暗能量、暗物质、黑洞辐射、夸克囚禁、超导超流等。这些问题似乎指向一个共同的问题，如何理解量子强关联系统？他们背后的理论，非微扰量子场论与非微扰弦理论，似有待建立。人们期盼已久的量子计算机的构建，与分数量子霍尔效应及拓扑量子场论密切相关。

在二十世纪末发现的暗能量，也就是宇宙在加速膨胀，是宇宙学标准模型的关键组成部分。在宇宙的组成中，暗能量占能量质量密度的比约为74%。做为量子引力候选者的弦理论，目前仍然无法解释暗能量。

暗物质的间接证据在二十世纪三十年代已经发现了。宇宙学标准模型认为暗物质占整个能量物质密度的比为23%，通常的可见物质仅占比4.6%。至今我们无法直接探测到暗物质，不清楚暗物质的组成。

在七十年代，霍金提出了黑洞辐射，并发现有黑洞信息丢失问题。这类问题可在弦论中的全息对应原理（AdS/CFT）下得到解决。而全息对应原理的建立，需要非微扰的弦论。

二十世纪七十年代发展起来的粒子物理标准模型，解释了加速器发现的各种基本粒子。不过一个能解释强相互作用如夸克囚禁的非微扰量子规范场论，仍有待建立。

1982年，崔琦与合作者发现了分数量子霍尔效应，1987年，朱经武、赵忠贤等发现了高温超导材料，这些发现打开了凝聚态强关联系统的大门。深入了解这些强关联系统，在理论和实践上都有重要的意义。对于强关联系统，就需要非微扰的量子场论，人们所知甚少。量子场论在量子力学出现不久就开始发展，有近百年的历史。目前的理论对于处理弱相互作用比较有效。

近年来，我们研究分数量子霍尔效应，构造了一类非微扰量子场论。相关的两篇文章在arXiv网站公布后（https://arxiv.org/abs/2308.14046，https://arxiv.org/abs/2409.12486）引起了同行很大的兴趣，目前正在投稿审查。剑桥大学David Tong教授称这项工作非常艰难，是一个突破。我们在北京基础科学大会、哈佛、复旦、上海交大、苏州大学等地的会议和讨论班上做了报告。

分数量子霍尔效应，是华裔科学家崔琦与合作者在1982年发现的一种宏观量子效应。他们发现对某些材料，放在强磁场下，会出现电荷为1/3的态。此后不久，Laughlin找出了这个系统的基态波函数（基态即最低能量态）。他们三位在1998年因此工作获得了诺贝尔物理奖。

在九十年代，一些物理学家，试图通过共形场论，理解Laughlin波函数，取得了一些成功。在本世纪初，Susskind等人建议用Chern-Simons矩阵模型来理解。在1988年，Witten的一个著名工作，猜测从Chern-Simons场论可以导出共形场论，这也是全息对应原理最早的例子。我曾在Witten讲课的基础上，形成了一本专著《Lectures on Chern-Simons-Witten Theory》，详细地阐述了Chern-Simons-Witten理论。我们最近的工作，建立了Chern-Simons矩阵模型的大N极限，并导出共形场论，证实了Witten的猜测。

△ 本文作者专著《Lectures on Chern-Simons-Witten Theory》（图源：豆瓣读书）

分数量子霍尔效应对于量子引力也有重要的应用。量子引力致力于把量子力学与广义相对论统一起来，弦论是实现这个统一的主要候选者。弦论已经有一些矩阵模型，物理学家做了不少深刻的研究工作。不过，人们仍未做出其大N极限，而这是问题的要害。我们试图将分数量子霍尔效应的工作拓展到弦论上。

我们在分数量子效应的工作，充分利用了系统的对称性，比如系统在坐标变换下的不变性。它表现为量子多体系统中的电子在重新标记下，系统的不变性。我们也可以构造与量子多体系统相伴随的量子几何，经典几何是它的一个极限。为建立量子引力，我们似需拓展时空的概念，涵盖这里出现的量子几何等。经典的时空概念，允许任意小的尺度，并不适合于构建此时空上的量子场论。它通常会导致无穷大的出现，人们花费了很多精力消去这些无穷大。

我们的一个工作，更新了时空的概念，将时空的刻画代数化（https://arxiv.org/abs/2308.04027）。这个概念很自然地与带尺度的时空吻合。这一工作发表在新加坡南洋理工大学纪念Yang-Mills六十周年的文集上，引起了Witten等人的浓厚兴趣，认为我们的时空观念是一个重大修正。文章在网上被下载1000余次。合作者Losev教授曾在莫斯科高等经济学院数学系任职，今年起到上海数学与交叉学科研究院工作。

欲建立量子引力，从对称性的角度，我们还需要考虑引入超对称。量子引力拥有超对称，即玻色子和费米子之间的对称。在弦论里头出现的真空，需保持超对称。在没有通量的情形，弦论中的内禀空间就是Calabi-Yau空间，这是超对称弦论的一块基石。通常弦论中的矩阵模型，没有一个稳定的真空，很难做量子化。我们期望通过引入一些通量得到稳定的真空。李思与合作者，在超引力中引入了一些通量，得到了稳定的解。Losev教授在这方面也做出了深刻的工作。我们希望在此基础上构造稳定的量子真空，从而构造出非微扰的量子引力理论。

李思教授是清华大学丘成桐数学中心教授（中科大校友），分数量子霍尔效应工作的共同作者。李思教授十几年来与合作者建立了拓扑弦、手征场论等，在量子场论与弦论的数学构造方面做出了重要贡献，被Witten教授誉为数学物理几何方法的国际领袖。分数量子霍尔效应工作的共同作者包括周业浩博士是东京大学宇宙连线研究所博士后（中科大校友）和叶东恒（中国科学技术大学博士生）。我也是上述工作的共同作者，现任中国科学技术大学数学学院教授、中国科学院吴文俊数学重点实验室主任。